Həndəsi silsilənin xassələri

          1.    Həndəsi silsilədə ikinci həddən başlayaraq hər bir həddin kvadratı onunla qonşu olan hədlərin hasilinə bərabərdir:

b2n=bn−1⋅bn+1

      2. Bu xassənin ümumilədirilmiş halı belədir: Həndəsi silsilədə ikinci həddən başlayaraq hər bir həddin kvadratı özündən eyni uzaqlıqda olan hədlərin hasilinə bərabərdir:

b2n=bn−k⋅bn+k

 3. Hədləri müsbət olan həndəsi silsilədə ikincidən başlayaraq hər birr hədd onunla qonşu hədlərin həndəsi ortasına bərabərdir:

b2=b1⋅b3−−−−−√ 

b3=b2⋅b4−−−−−√ 

------------------

bn=bn−1⋅bn+1−−−−−−−−√

4.    Bu xassənin ümumilədirilmiş halı belədir: Hədləri müsbətədədlər olan həndəsi silsilənin ikincidən başlayaraq hər bir həddi ondan eyni uzaqlıqda olan iki həddin həndəsi ortasına bərabərdir:

bn=bn−k⋅bn+k−−−−−−−−√(1≤k≤n−1)

5.    Həndəsi silsilənin hədlərinin nömrələri n + m = k + l şərtini ödəyərsə, aşağıdakı bərabərlik doğrudur: 

bn⋅bm=bk⋅bl

6.    Həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu verilərsə, n - ci həddi aşağıdakı düsturla tapmaq olar:

bn=Sn−Sn−1

Həndəsi silsilədə ikinci həddən başlayaraq hər bir həddin kvadratı onunla qonşu olan hədlərin hasilinə bərabərdir.

b2n=bn−1⋅bn+1

İsbatı:

   b_{n + 1} = b_n·q ⇒ n = 1 → b₂ = b₁q

             n = 2 → b₃ = b₂q

             n = 3 → b₄ = b₃q

             --------------------

             n = n - 1 → b_n = b_{n - 1}·q

             n = n → b_{n + 1} = b_{n - 2}·q

   Burada q=b2b1,q=b3b2,q=b4b3,...,q=bnbn−1,q=bn+1bn olduğundan

 b2b1=b3b2=b4b3=...=bnbn−1=bn+1bn⇒ b22=b1⋅b3 

                       b23=b2⋅b4 

                       -------------- 

                       b2n=bn−1⋅bn+1

Bu xassənin ümumilədirilmiş halı belədir: Həndəsi silsilədə ikinci həddən başlayaraq hər bir həddin kvadratı özündən eyni uzaqlıqda olan hədlərin hasilinə bərabərdir.

b2n=bn−k⋅bn+k

İsbatı:

   Həndəsi silsilənin n - ci həddinin düsturu aşağıdakı kimidir:

bn=b1⋅qn−1

   Eyniliyin hər iki tərəfini kvadrata yüksəldək:

b2n=(b1⋅qn−1)2⇒b2n=b21⋅q2n−2(1)

   bn−k⋅bn+k hasilini çevirək:

bn−k⋅bn+k=b1q(n−k)−1⋅b1q(n+k)−1=b21⋅q2n−2⇒

bn−k⋅bn+k=b21⋅q2n−2(2)

   (1) və (2) bərabərliklərinin sağ tərəflərinin bərabərliyindən alarıq:

b2n=bn−k⋅bn+k

Hədləri müsbət olan həndəsi silsilədə ikincidən başlayaraq hər bir hədd onunla qonşu hədlərin həndəsi ortasına bərabərdir.

b2=b1⋅b3−−−−−√ 

b3=b2⋅b4−−−−−√ 

------------------

bn=bn−1⋅bn+1−−−−−−−−√

Bu xassənin ümumilədirilmiş halı belədir: Hədləri müsbət ədədlər olan həndəsi silsilənin ikincidən başlayaraq hər bir həddi ondan eyni uzaqlıqda olan iki həddin həndəsi ortasına bərabərdir.

bn=bn−k⋅bn+k−−−−−−−−√(1≤k≤n−1)

Həndəsi silsilənin hədlərinin nömrələri n + m = k + l şərtini ödəyərsə, aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

bn⋅bm=bk⋅bl

İsbatı:

b_n = b₁·q^n-1

b_m = b₁·q^m-1

b_k = b₁·q^k-1

b_l = b₁·q^l-1

    Əgər n + m = k + l olarsa,

         bn⋅bm=b21⋅qn+m−2 

         bk⋅bl=b21⋅qk+l−2

bərabərliklərinin sağ tərəfləri bərabər olacaqdır. Ona görə də onların sol tərəfləri də bərabərdir. Yəni

bn⋅bm=bk⋅bl

    Məsələn:

    b₅·b₄ = b₃·b₆   ⇒ {5 + 4 = 3 + 6 ⇒ 9 = 9}

    Aşağıdakı kimi olmaz:

        b₅·b₄ = b₉ ⇒ {5 + 4 = 9 ⇒ 9 = 9}

Həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu verilərsə, n - ci həddi aşağıdakı düsturla tapmaq olar:

bn=Sn−Sn−1

İsbatı:

     S_n = b₁ + b₂ + ... + b_{n - 1} + b_n

     S_{n - 1} = b₁ + b₂ + ... + b_{n - 1}

   Bu bərabərlikləri tərəf - tərəfə çıxsaq alarıq:

bn=Sn−Sn−1