Həndəsi silsilə

• Həndəsi silsilə
• Həndəsi silsilənin vuruğu
• Həndəsi silsilənin simvolik işarəsi
• Həndəsi silsilənin n - ci həddinin düsturu
• Həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu
• Sonsuz azalan həndəsi silsilə

    1.    Həndəsi silsilə:

bn+1=bn⋅q(bn≠0)

2. Silsilə vuruğunun düsturu:

q=bn+1bn(bn≠0→q≠0)

3.    Həndəsi silsilənin n - ci həddinin düsturu:

       bn=b1⋅qn−1

4.    Həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu:

 1.Sn=bnq−b1q−1(q−1≠0→q≠1) 

2.Sn=b1(qn−1)q−1(q−1≠0→q≠1) 

3.Sn=nb1(q=1)

5.    Sonsuz azalan həndəsi silsilənin düsturu:

 S=b11−q(|q|<1)

Sıfırdan fərqli ədədlərin ikincidən başlayaraq hər bir həddi özündən əvvəlki hədlə eyni bir ədədin hasilinə bərabər olan ardıcıllığa həndəsi silsilədeyilir.

bn+1=bn⋅q(bn≠0)

q ədədinə həndəsi silsilənin vuruğu deyilir.

q=bn+1bn(bn≠0→q≠0)

n - ci həddi b_n olan həndəsi silsilə simvolik olaraq ÷÷ b₁,b₂,b₃,...,b_n,... və ya  ÷÷ b_n kimi işarə olunur.

q = 1 olduqda bu silsilə sabit ardıcıllıq olur.

Həndəsi silsilənin n - ci həddinin düsturu aşağıdakı kimidir:

bn=b1⋅qn−1

İsbatı:

b₂ = b₁·q

b₃ = b₂·q

b₄ = b₃·q

-------------

b_{n - 1} = b_{n - 2}·q

b_n = b_{n - 1}·q

    Bu bərabərlikləri tərəf - tərəfə vuraq:

b₂ · b₃ · ... · b_{n - 1} · b_n = b₁ · b₂ · ... · b_{n - 1} · q^{n - 1}

    Qeyd. Bu bərabərliklər (n - 1) sayda olduğu üçün "q" - lərin sayı (n - 1) qədər olacaqdır.

    Bu bərabərliklərin sağ və sol tərəfdəki oxşar hədlərini islah etsək alarıq:

bn=b1⋅qn−1

    Məsələn:

      b₂ = b₁q

      b₃ = b₂q = b₁q²

      b₄ = b₃q = b₁q²·q = b₁q³ və s.

Həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu aşağıdakı kimidir:

1.Sn=bnq−b1q−1(q−1≠0→q≠1) 

2.Sn=b1(qn−1)q−1(q−1≠0→q≠1))

3.Sn=nb1(q=1)

İsbatı:

   Tutaq ki, {b_n} həndəsi silsiləsi verilmişdir. Onun ilk n həddinin cəmini S_n ilə işarə edək:

    S_n = b₁ + b₂ + b₃ + ... + b_{n - 1} + b_n (1)

   (1) bərabərliyinin hər iki tərəfini q - yə vuraq:

    S_nq = b₁q + b₂q + b₃q + ... + b_{n - 1}q + b_nq ⇒

    ⇒ S_nq = b₂ + b₃ + b₄ + ... + b_n + b_nq (2)

   (2) bərabərliyindən (1) bərabərliyini hədbəhəd çıxaq və oxşar hədləri islah edək:

S_nq - S_n = (b₂ + b₃ + ... + b_n + b_nq) - (b₁ + b₂ + b₃ + ... + b_{n - 1} + b_n) ⇒

⇒ S_nq - S_n = b_nq - b₁ ⇒ S_n(q - 1) = b_nq - b₁ ⇒

1.Sn=bnq−b1q−1(q−1≠0→q≠1)

   b_n = b₁q^{n -1} olduğunu nəzərə alsaq alarıq:

Sn=bnq−b1q−1=b1qn−1⋅q−b1q−1=b1(qn−1)q−1⇒

2.Sn=b1(qn−1)q1(q−1≠0→q≠1))

   q = 1 olarsa, onda həndəsi silsilənin bütün hədləri birinci həddinə bərabər olacaqdır:

3.Sn=nb1(q=1)

Tutaq ki, vuruğu q olan

b₁, b₂, b₃, ... , b_n, ...

sonsuz həndəsi silsiləsi verilmişdir. Əgər |q| < 1 olarsa, ona sonsuz azalan həndəsi silsilə deyilir.

Sonsuz azalan həndəsi silsilənin cəmi aşağıdakı düsturla hesablanır:

S=b11−q(|q|<1)

İsbatı:

   İstənilən həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmi aşağıdakı düsturla hesablanır:

Sn=b1(qn−1)q−1(q−1≠0→q≠1)

   Bu düsturu aşağıdakı kimi çevirək:

Sn=b1(qn−1)q−1=b1qn−b1q−1=b1−b1qn1−q=b11−q−b11−q⋅qn

   Əgər |q| < 1 olarsa, onda n qeyri - məhdud artdıqca (yəni n→∞olduqda) qⁿ vuruğu sıfra yaxınlaşır, yəni limn→∞qn=0 . Onda b11−q⋅qnhasili də sıfra yaxınlaşır. Buna görə də n qeyri - məhdud artdıqda (yəni n→∞olduqda) S_n cəmi b11−q ədədinə yaxınlaşır. Yəni

limn→∞Sn=limn→∞(b11−q−b1qn1−q)=limn→∞b11−q−limn→∞b1qn1−q=

=b11−q−b11−q⋅limn→∞qn=b11−q−b11−q⋅0=b11−q

   {S_n} ardıcıllığının limitinə sonsuz azalan həndəsi silsilənin cəmi deyilir. Bu cəmi S ilə işarə etsək alarıq:

S=b1+b2+b3+...+bn+...=b11−q

və ya

      b11−q ədədinə |q| < 1 olan {b_n} sonsuz həndəsi silsilənin cəmi deyilir. Yəni

b1+b1q+b1q2+...=b11−q

   Bu silsilənin cəmini S ilə işarə etsək alarıq:

S=b11−q(|q|<1)

   Qeyd. |q| ≥ 1 olarsa, onda n qeyri - məhdud artdıqda (yəni n→∞olduqda) həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmi heç bir ədədə yaxınlaşmır. Sonsuz həndəsi silsilənin ancaq |q| < 1 olduqda cəmi olur. 

   Misal:

     0,(18) sonsuz dövrü onluq kəsrini adi kəsr şəklində göstərək.

   Həlli:

     0,(18)=0,18+0,0018+0,000018+... 

     b1=0,18 

     b2=0,0018 

q=b2b1=0,00180,18=0,01

S=b11−q=0,181−0,01=0,180,99=211⇒0,(18)=211