Bal pətəyinin Riyazi Sirləri

* Böyük bir sahəni daha kiçik hissələrə ən qənaətli formada bölməyi arılar haradan öyrəndi?

* Altıbucaqlının, bərabər üçbucaqlı və kvadrata nəzərən xeyirli cəhətləri...

* Altıbucaq bir prizma formasındakı pətəyin açıq ucunu bağlamaq üçün istifadə ediləcək bal mumunun israf edilməməsi üçün necə bir həndəsə tətbiq edilməlidir?

* Arıların böyük qənaət prinsipi, həndəsi biliyi və memarlıq mövzusunda göstərdikləri heyrətamiz davranışlarının qaynağını "instink” kəlməsi ilə izah etmək olarmı? 

Bal pətəyinin qəribə memarlığı tarix boyunca insanların marağına səbəb olmuşdur. Yan-yana altıbucaqlılardan təşkil olunan bu quruluş, son dərəcə dəqiq olub ortalama divar qalınlıqları 0.1 mm-dir. Bu ortalama dəyərdən azma isə, ən çox 0.002 mm-ə qədərdir. Pətəklərin inşasında riayət olunan həndəsə qaydalarının nə dərəcə ideal olduğunu anlaya bilmək üçün riyazi bir baxışa malik olmaq lazımdır.

Dairə, müəyyən bir sabit sahəni əhatə edən ən qısa kənar uzunluğuna malik həndəsi formadır. Məsələn, sahəsi 10 sm2 olan kvadrat və dairənin çevrə uzunluqları müqayisə edildikdə dairənin çevrəsinin daha qısa olduğunu görərik. Ancaq bal pətəyinin inşasında vəziyyət heç də belə deyil. Burada bal pətəyinin geniş çərçivəsi, bərabər və daha kiçik sahələrə bölünəcəkdir və bölmə əməliyyatında ən az çevrə uzunluğuna malik quruluş istifadə ediləcəkdir. Çərçivəni, bərabər sahələrə malik kiçik dairələr şəklindəki pətəklərə bölmək istəsək, yuxarıda ifadə edildiyi kimi ən qısa kənar xüsusiyyəti təmin edəcək, fəqət dairələrin kənarları arasında qalan boşluqlar üçün daha çox mum sərf edilmiş olacaqdır.

Halbuki bu məsələni ən qısa kənar uzunluğu və ən az material ilə (mum) həll etmək üçün həndəsə prinsiplərinə müraciət etdikdə, pətəklərin bölünməsində çoxbucaqlıların istifadə edilməsinin lazım olduğu məlum olacaqdır. Bucaq sayısı n olan eyni sahəyə malik çoxbucaqlılar fərz edək. Bunların içərisində ən qısa çevrə uzunluğuna sahib olanı düz n-bucaqlıdır. Düz dedikdə, bütün xarici və daxili bucaqları bərabər olan çoxbucaqlı nəzərdə tutulur. Belə bir çoxbucaqlı, hər zaman bir dairənin içinə çəkilə bilər və çoxbucaqlının kənarları çevrənin sahəsinin üstündədir. Belə bir quruluş ideal dairə formasına yaxın olduğu üçün çevrə uzunluğu ən az olmaqdadır. Məsələn, bərabər sahəli üçbucaqlılar arasında ən qısa çevrə uzunluğu bərabər üçbucaqlıda, dördbucaqlılar arasında ən qısa çevrə uzunluğu isə kvadratdadır. Bunun kimi beşbucaqlı və altıbucaqlılar arasında müqayisə aparılsa, ən qısa çevrə uzunluğu düz beşbucaqlı və altıbucaqlıda əldə olunur. 

Ağlımıza gələn ilk sual, müəyyən bir sahəni bölərkən hansı düz çoxbucaqlını istifadə edəcəyik sualı ola bilər. Bir dairə və içərisinə çəkilmiş n bucaqlı bir düz çoxbucaqlının bir qismi Şəkil 1-də göstərilmişdir. Şəkildən də görüldüyü kimi çoxbucaqlının bir daxili bucağı 180-360/n dərəcədir. Verilən bir geniş sahəni kiçik sahələrə bölmək istədikdə, qonşu çoxbucaqlıların bir-birlərinə tam yerləşməsi və aralarında boşluq qalmamalıdır. Bunun ola bilməsi üçün bir-birinə söykənən qonşu çoxbucaqlı təpələrinin daxili bucaqlarının cəmi 360 dərəcə olmalıdır (Şəkil 2). Başqa bir ifadə ilə bir daxili bucağın tam sayı qatı 360 dərəcə olmalıdır. N qonşu daxili bucaqların ədədini təmsil etdiyini fərz etsək, aşağıdakı tənliyi yazmaq olar (N tam ədəddir):N (180 - 360 / n ) = 360

Buradan N-i həll etsək;

N = 2n / (n-2)= 2 + 4 / (n-2) tənliyi əldə olunur. Tapmaq istədiyimiz, hansı kənar say n üçün N dəyəri tam ədəddir. Tam ədəd dəyərləri yalnız n=3, 4 və 6 üçün əldə edə bilirik və 6-dan böyük heç bir rəqəm üçün tam ədədi tapmaq olmaz. Yəni, əgər bir sahəni boşluqsuz bölmək istəsək, ya üçbucaqlı, ya dördbucaqlı, ya da altbucaqlı istifadə etməliyik. Kənar sayı 6-dan çox olan düz çoxbucaqlı ilə boşluqsuz bölmək mümkün deyil. Oxşar formada düz beşbucaqlı da məsələnin uyğun həlli deyil. Şəkil 3-də üç düz beşbucaqlının yan-yana qoyulması ilə 36o bucaqlı boş bir sahə meydana çıxır. Halbuki altıbucaqlılar boşluqsuz yan-yana qoyula bilir (Şəkil 4). Bundan başqa bərabər sahəli üçbucaq, dördbucaq və altıbucaq bir-biri ilə müqayisə edildikdə, ən az cizgi uzunluğu altibucaqda olur. Beləliklə ən az bal mumu sərfiyyatı belə formada bölməklə ola bilər. 

Bununla yanaşı, riyaziyyatçılar, kənarları düz deyil, əyri olan çoxbucaqlıların daha yaxşı olub olmadığını tədqiq etdilər. Kənar əyri olduqda, bir çoxbucaqlıda xarici qabarıq forma, qonşu çoxbucaqlıda isə istər-istəməz daxili qabarıq çoxbucaqlı forma meydana gələcək. Xarici qabarıq çoxbucaqlıdan qazandığımız tərəfləri daxili qabarıq çoxbucaqlıda itirəcəyik. 

Bunun da bizə heç bir xeyri olmayacaq. Miçiqan Universitetindən Tomas Heyls 1999-cu ildə son nöqtəni qoydu və bir sahəni bərabər kiçik sahələrə bölmək üçün ən ideal formanın düz altıbucaqlı olduğunu isbat etdi. Nə qədər də altıbucaqlının ideal forma olduğu deyilsə də, ona kimi riyazi isbatı yerinə yetirilməmişdi. 

1999-cu ildə ancaq isbatını tapa bildiyimiz həlli, arıların milyonlarla ildir ki, Sevki İlahi ilə yerinə yetirməkləri, Allahın ilhamından başqa nə ola bilər ki... Əgər arıların inşaat texnikası təkamülləşərək dövrümüzə gəlib çıxsaydı, onda tamam fərqli həndəsi formalarla rastlaşmalı olardıq. Halbuki başqa formada pətəklərin olması haqqında heç bir əlamət görünməmişdi. Elə Çarlz Darvinin özü də bal pətəyini, işçilik və bal mumunu mükəmməl qənaət edən mühəndislik xariqəsi kimi tərif etmişdir.

İndiyə kimi məsələyə iki cəhətdən baxdıq. Ancaq bal pətəyi üç ölçülü bir cisim olub altıbucaqlı prizma formasındadır. Altıbucaqlı prizma formasındakı pətəklər iki təbəqə halında olub bir ucu açıq, digər qapalı ucları isə arxa-arxaya söykəyərək yerləşdirilmişdir (Şəkil 5). 

Çərçivə yerə perpendikulyar yerləşdirildikdə prizmalar maili 13o-lik bir bucaq açacaq formada inşa edilmiş olar və bu bucaq balın axmaması üçün kifayət qədər ən kiçik bucaqdır. Görəsən pətəyin qapalı ucunda ən az balmumu sərfiyyatı üçün necə bir həndəsəyə ehtiyac var? 1964-cü ildə riyaziyyatçı Fejes Tot, ən ideal bağlamağın iki altıbucaqlı və iki kvadrat ilə ola biləcəyini göstərdi (Şəkil 6a). 

Arılar isə bir az fərqli olaraq üç bərabərtərəfli dördbucaqlı ilə yerinə yetirməkdədir (Şəkil 6b). Bərabərtərəfli dördbucaqlıların daxili bucaqları 70.5o və 109.5o olmaqla üç bərabərtərəfli dördbucaqlı örtüyü ən ideal riyazi həlli verir. Görünüşdə arıların tətbiqində iki altıbucaqlı və iki kvadrata görə sahədə 0.035%-lik çox kiçik bir itki meydana gəlirdi. Ancaq fikir vermədiyimiz bir nöqtə var idi, o da hesablamalarda divar qalınlığının çox nazik nəzərə alınması idi.

Tədqiqatçılar, Totun riyazi modelini təcrübə etmək üçün maye hava köpüyündən istifadə etdilər. İki şüşənin arasına iki təbəqə olacaq qədər 2 mm diametrli qab şampunu qabarcıqları yerləşdirdilər. Şüşələrə toxunan qabarcıqlar altıbucaqlı quruluşa çevrildi. Ortada iki təbəqənin sonunda isə Totun irəli sürdüyü iki altıbucaqlı və iki kvadrat formasında quruluş meydana gəldi. Qabarcığın divarları bir az qalınlaşdırıldıqda isə qəribə bir şey oldu və quruluş birdən-birə arılardakı kimi üç bərabərtərəfli dördbucaqlı quruluşuna çevrildi. Təcrübə, arılara ən ideal formanın ilham edildiyini təsdiq edirdi. 

Müqəddəs Bəyanda da bal arısının davranışları haqqında yazılır: "Rəbbin bal arısına belə vəhy (təlqin) etdi: "Dağlarda, ağaclarda və (insanların) qurduqları çardaqlarda (evlərin damında, üzümlüklərdə) özünə evlər tik (pətəklər sal); Sonra bütün meyvələrdən ye və Rəbbinin sənə göstərdiyi yolla rahat (asanlıqla) get! (Və ya: "Rəbbinin yollarını itaətlə tut!") (O arıların) qarınlarından insanlar üçün şəfa olan müxtəlif rəngli (ağ, sarı, qırmızı) bal çıxar. Şühəsiz ki, bunda düşünüb dərk edənlər üçün bir ibrət vardır!” (Nəhl, 68/69).

Qaynaqlar

1- Science News, Vol 156, No. 4, July 24 1999. 

2- John A. Adam, Mathematics in Nature, Princeton University Press, 2003.

Mənbə: Riyaziyyat.net